Giải bài 41, 42, 43 trang 128 sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1 bài Ôn tập chương 2 Đường tròn. Bài xích 42 Cho hai đường tròn (O) cùng (O’) tiếp xúc kế bên tại A, BC là tiếp tuyến thông thường ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến phổ biến trong trên A cắt BC ngơi nghỉ điểm M. Gọi E là giao điểm của OM với AB, F là giao điểm của O’M và AC
Bài 41 trang 128 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Cho mặt đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc cùng với BC trên H.
Bạn đang xem: Bài 41 trang 128 sgk toán 9 tập 1
Gọi E, F theo đồ vật tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H mang lại AB, AC. Call (I), (K) theo sản phẩm tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a) Hãy xác xác định trí tương đối của các đường tròn: (I) cùng (O); (K) và(O); (I) và (K).
b) Tứ giác AEHF là hình gì? vày sao?
c) chứng minh đẳng thức (AE.AB = AF.AC)
d) chứng minh rằng EF là tiếp tuyến thông thường của hai đường tròn (I) và (K)
e) Xác định vị trí của điểm H nhằm EF gồm độ dài mập nhất.
Lời giải:
a) (OI = OB – IB) buộc phải (I) tiếp xúc trong với (O)
(OK = OC – KC) cần (K) tiếp xúc trong cùng với (O)
(IK = IH + KH) phải (I) tiếp xúc xung quanh với (K)
b) vày (HE ot AB) (gt)
( Rightarrow widehat A mEH = 90^0)
Tương tự tất cả (widehat AFH = 90^0) ( do (HFot AC))
Và (widehat BAC = 90^0) (do A thuộc con đường tròn 2 lần bán kính BC)
Tứ giác AEHF bao gồm (widehat EAF = widehat AEH = widehat AFH = 90^0) nên là hình chữ nhật (Dấu hiệu thừa nhận biết)
c) ∆ABH vuông trên H, HE là mặt đường cao cần (AH^2 = AE. AB) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
∆ACH vuông trên H, HF là con đường cao buộc phải (AH^2 = AF. AC) (hệ thức lượng vào tam giác vuông)
Do đó (AE. AB = AF. AC) (vì cùng bởi (AH^2) )
d) hotline M là giao điểm của AH và EF, ta có: (ME = MF = MH = MA) (do tứ giác AEHF là hình chữ nhật)
Xét ∆MEI và ∆MHI có:
(ME = MH, IE = IH (=R)), ngươi (cạnh chung)
Do kia (∆MEI = ∆MHI) (c.c.c)
(Rightarrow widehat MEI = widehat MHI) (2 góc tương ứng)
mà (widehat MHI = 90^0) (do (ADot BC)) đề nghị (widehat MEI = 90^0)
⇒ (ME ot EI) trên E mà IE là nửa đường kính đường tròn (I)
⇒ ME hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Chứng minh tương tự như có EF là tiếp con đường của mặt đường tròn (K)
Hoặc ta hội chứng minh EF là tiếp tuyến đường của đường tròn (K) như sau:
Vì (MF=MH) (cmt) bắt buộc tam giác MFH cân tại M ⇒ (widehat MHF=widehat MFH) (*) (tính chất)
Vì (KH=KF) (= nửa đường kính đường tròn (K)) bắt buộc tam giác KFH cân nặng tại K
⇒ (widehat KHF=widehat KFH) (**) (tính chất)
Từ (*) và (**) ta có: (widehat MHF+widehat KHF=widehat MFH+widehat HFK)
Hay (widehat KFM=widehat MHK=90^0) (do (AHot BC))
⇒ (MFot FK) tại F mà KF là bán kính đường tròn (K) nên EF là tiếp tuyến đường của con đường tròn (K)
e) Cách 1:
Ta tất cả (EF = AH) (vì AEHF là hình chữ nhật) nhưng (AH ≤ AO ) (=bán kính mặt đường tròn (O)=R)
Do đó (EF ≤ R), (R) không đổi. Vệt “=” xẩy ra (⇔ H ≡ O)
Vậy khi dây AD vuông góc cùng với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.
Cách 2 câu e:
Xét đường tròn (O) tất cả BC là đường kính và AD là dây cung cơ mà (ADot BC) tại H đề nghị H là trung điểm của AD (định lý). Suy ra (AH=dfracAD2)
Ta tất cả (EF = AH) (vì AEHF là hình chữ nhật)
⇒ (EF=AH=dfracAD2)
Do đó EF lớn nhất khi AD béo nhất. Lúc đó, dây AD lớn số 1 là mặt đường kính.
Vậy khi dây AD vuông góc với BC trên O thì EF bao gồm độ dài béo nhất.
Bài 42 trang 128 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Cho hai đường tròn (O) cùng (O’) tiếp xúc kế bên tại A, BC là tiếp tuyến tầm thường ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến phổ biến trong trên A cắt BC sinh hoạt điểm M. Call E là giao điểm của OM cùng AB, F là giao điểm của O’M và AC. Minh chứng rằng
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) ME.MO = MF.MO’
c) OO’ là tiếp tuyến đường của con đường tròn có 2 lần bán kính là BC.
d) BC là tiếp tuyến đường của đường tròn có đường kính là OO’.
Lời giải:
a) (MA, MB) là những tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt).
Theo đặc điểm của nhị tiếp tuyến giảm nhau, ta có (MA = MB), MO là tia phân giác (widehat AMB)
Ta có: (∆MAB) cân nặng tại (M (do,MA = MB)) buộc phải MO là con đường phân giác bên cạnh đó là đường cao
(Rightarrow MO ot AB Rightarrow widehat ME mA = 90^0)
Lại tất cả (MA, MC) là các tiếp con đường của con đường tròn (O") (gt).
Theo đặc thù của hai tiếp tuyến giảm nhau, ta bao gồm (MA = MC), MO’ là tia phân giác góc (widehat AMC)
Ta có: (∆MAC) cân tại (M (do,MA = MC)) nên MO" là con đường phân giác mặt khác là mặt đường cao
(Rightarrow MO" ot AC Rightarrow widehat MFA = 90^0)
Vì (MO, MO’) là tia phân giác của nhì góc kề bù (widehat AMB,widehat AMC Rightarrow widehat EMF = 90^0) (hai tia phân giác của nhì góc kề bù thì vuông góc cùng với nhau)
Vì (widehat EMF = widehat MEA = widehat MFA = 90^0) buộc phải tứ giác AEMF là hình chữ nhật ( Tứ giác gồm 3 góc vuông)
b) (∆MAO) vuông tại A có AE là mặt đường cao đề xuất (ME. MO = MA^2) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
(∆MAO") vuông tại A có AF là đường cao nên (MF. MO’ = MA^2) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Do đó, (ME. MO = MF. MO’ (= MA^2))
c) Theo câu a) ta có (MA=MB) và (MA=MC)
⇒ (MA = MB = MC=dfracBC2) đề nghị M là tâm đường tròn đường kính BC có nửa đường kính là MA. Nhưng (OO’ ⊥ MA) tại A.
Do đó OO’ là tiếp tuyến đường của đường tròn đường kính BC
d)
Gọi K là trung điểm OO’, ta tất cả K là tâm đường tròn có đường kính là OO’
Tam giác OMO" vuông trên M (do theo câu a gồm (widehat EMF=90^0) hay (widehat OMO"=90^0) ) gồm MK là con đường trung con đường ứng cùng với cạnh huyền OO" cần (KM=dfrac12OO") (tính chất)
Như vậy, đường tròn trọng tâm K đường kính OO" có bán kính KM.
Ta tất cả (OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC ) (do BC là tiếp tuyến) (⇒ OB // O"C.)
⇒ Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M thứu tự là trung điểm các cạnh sát bên OO’, BC.
Do kia KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ (⇒ KM // OB)
Mà (OB ⊥ BC) yêu cầu (KM ⊥ BC)
Ta có (BC ⊥ KM) tại M buộc phải BC là tiếp con đường của mặt đường tròn 2 lần bán kính OO’.
Bài 43 trang 128 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Cho hai tuyến đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau trên A với (B (R > r)). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ con đường thẳng vuông góc với IA tại A, mặt đường thẳng này cắt cá con đường tròn trọng tâm (O; R) cùng (O’; r) theo thứ tự trên C cùng D (khác A).
a) chứng tỏ rằng AC = AD.
b) call K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Minh chứng rằng KB vuông góc cùng với AB
Lời giải:
a) Vẽ OM ⊥ AC tại M, O’N ⊥AD tại N.
Xét con đường tròn (O), vì (displaystyle OM ot AC Rightarrow MA = MC = AC over 2) (định lý đường kính vuông góc với dây)
Xét mặt đường tròn (O"), do (displaystyle O’N ⊥AD Rightarrow NA = N mD = A mD over 2) (định lý 2 lần bán kính vuông góc với dây)
Mặt khác, ta có (OM ⊥ CD, IA ⊥ CD, O’N ⊥ CD)
(⇒ OM // IA //O’N.)
Suy ra tứ giác OMNO" là hình thang.
Hình thang OMNO’ bao gồm (IA // OM//O"N; IO = IO’) buộc phải (MA = NA) (đường thẳng tuy nhiên song cùng với hai đáy của hình thang và trải qua trung điểm 1 ở bên cạnh thì đi qua trung điểm sát bên còn lại)
Do vậy (2.MA=2.NA) giỏi (AC = AD.)
b) Ta bao gồm (O) với (O’) cắt nhau tại A, B
⇒ OO’ là con đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính hóa học đường nối trọng điểm của hai đường tròn cắt nhau)
(⇒ IA = IB) (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Mặt khác (IA = IK) ( vị K đối xứng cùng với A qua I)
Do đó: (IA = IB = IK)
Ta tất cả ∆KBA bao gồm BI là mặt đường trung con đường và (displaystyle BI = AK over 2) nên ∆KBA vuông trên B
Gọi E, F theo sản phẩm công nghệ tự là chân các đường vuông góc kẻ trường đoản cú H cho AB, AC. Gọi((I), (K)) theo đồ vật tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn:((I)) và((O), (K)) và((O), (I)) với ((K)).
b) Tứ giác AEHF là hình gì? bởi vì sao?
c) chứng minh đẳng thức(AE.AB = AF.AC)
d) chứng tỏ rằng EF là tiếp tuyến phổ biến của hai tuyến phố tròn (I) với (K).
e) Xác xác định trí của điểm H nhằm EF gồm độ dài khủng nhất.
Lời giải:
Gợi ý:
a) xác định hệ thức liênhệ giữa đường nối trung tâm với buôn bán kính những đường tròn, từ đó suy ra địa điểm tương đối.
Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Chỉnh Sửa File Pdf Trong Word 2007, Tặng Bạn Cách Chỉnh Sửa File Pdf Trong Word 2007
c)Áp dụng hệ thức lượng trong vuông ΔAHB,ΔAHC
d)Chứng minh
EF là tiếp đường của đường tròn (I) với (K).
-->