12/06/2023

Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể, công thức ứng dụng tích phân tính thể tích

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay

Bài viết này được trích từ tài liệu bài giảng khoá PRO X 2018 luyện thi THPT quốc gia môn Toán dành cho học sinh 2000, các em tham khảo khoá học tại đây:https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

CQRC7n
FRa.png" alt="*">

Khuyến mại đặc biệt các khoá học môn Toán thi THPT Quốc Gia dành cho học sinh K99 và học sinh K2000

ƯU ĐÃI ĐẾN 50% HỌC PHÍ CÁC KHOÁ HỌC DÀNH CHO K99 & KHOÁ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2018 PRO X

Video: Giới thiệu khoá học PRO X TOÁN 2018 tại Vted dành riêng cho học sinh khoá 2000 luyện thi THPT Quốc Gia 2018

Nhằm tạo điều kiện cho các học viên mới tham gia vào các khoá học môn PRO X Toán 2018 và các khoá luyện thi K99 ưu đãi:

giảm ngay đến 50% học phí/khoá cho tất cả các khoá học

Áp dụng trước ngày 20 - 06 - 2017

Chi tiết về ưu đãi từng khoá học như sau:

6 LÍ DO TẠO NÊN SỰ KHÁC BIỆT CỦA CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN TẠI VTED CỦA THẦY ĐẶNG THÀNH NAM

•Nội dung chất lượng luôn đi sát với thực tiễn đề thi

•Học 1 được 3 và còn hơn thế nữa với tổng thời lượng cho đến 500giờ/khoá

•Tài liệu hỗ trợ & bài tập đi kèm đầy đủ, chỉ sợ học viên phát hoảng vì quá nhiều

•Giao lưu trực tuyến hàng tuần và gặp trực tiếp tại Hà Nội

•Học phí quá rẻ so với những gì các bạn nhận được & liên tục cập nhật các nội dung mới hoàn toàn miễn phí

•Đảm bảo kết quả thi nếu Bạn tiếp thu được 70% lượng kiến thức mà khoá học mang lại

Có thể Bạn sẽ gặp một số đối tượng đi rao bán những video này của chúng tôi không xin phép (đối với những video chúng tôi dạy trong các khóa trước đây) và hành vi lừa đảo Bạn đối với những video Tôi đã để công khai trên kênh Youtube của chúng tôi mà bị đem đi kinh doanh thương mại không xin phép. Bạn nên sáng suốt trước những lời mời mọc của những thành phần mất nhân cách này. Hãy chứng tỏ nhân cách của Bạn bằng cách hãy từ chối và chụp hình lại đoạn mời mọc của chúng (Facebook, thông tin cá nhân, đoạn chat mời mọc) và gửi cho chúng tôi để có biện pháp xử lý chúng. Chúng tôi sẽ giữ bí mật cho Bạn đồng thời gửi tặng Bạn phần quà và lời cảm ơn chân thành.

Bạn đang xem: Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!

Bài viết hướng dẫn phương pháp ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể (gồm vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng và vật thể tròn xoay) thông qua lý thuyết, công thức tính, các bước giải toán và ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Kiến thức cần nắm:1. Thể tích của vật thểGiả sử vật thể $T$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song $(\alpha )$, $(\beta )$. Ta chọn trục $Ox$ sao cho:$\left\{ \begin{array}{l}Ox \bot (\alpha ) \\Ox \bot (\beta )\end{array} \right.$ và giả sử $\left\{ \begin{array}{l}Ox \cap (\alpha ) = a\\Ox \cap (\beta ) = b\end{array} \right.$Giả sử mặt phẳng $(\gamma ) \cap Ox$ và $(\gamma ) \cap Ox = x\left( {a \le x \le b} \right)$ cắt $T$ theo một thiết diện có diện tích $S\left( x \right)$ (là hàm số liên tục theo biến $x$). Khi đó, thể tích $V$ của vật thể $T$ được cho bởi công thức: $V = \int\limits_a^b {S(x)dx} .$

2. Thể tích của vật thể tròn xoaya. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left< {a;b} \right>$. Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ quay quanh trục $Ox$ được cho bởi công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .$b. Cho hàm số $x = f\left( y \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left< {a;b} \right>$. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $x = f\left( y \right)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ quay quanh trục $Oy$ được cho bởi công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} .$

3. Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối cầua. Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích đáy bằng $B$ và chiều cao $h$ được cho bởi $V = \frac{1}{3}Bh.$ Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích hai đáy là ${B_1}$, ${B_2}$ và chiều cao $h$ được cho bởi: $V = \frac{1}{3}({B_1} + {\rm{ }}{B_2} + \sqrt {{B_{1.}}.{B_2}} )h.$b. Thể tích của khối cầu có bán kính $R$ được cho bởi: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.$

Dạng toán 1: Tính thể tích vật thểPhương pháp: Thực hiện theo hai bước:+ Bước 1: Xác định công thức tính diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ (hoặc $S\left( y \right)$) thông thường chúng ta gặp thiết diện là các hình cơ bản.+ Bước 2: Khi đó: $V = \int\limits_a^b {S(x)dx} $ (hoặc $V = \int\limits_a^b {S(y)dy} $).

Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể:a. Nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = \frac{\pi }{2}$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( {0 \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)$ là một hình vuông cạnh $\sqrt {{{\sin }^3}x} .$b. Nằm giữa hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 4$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( {1 \le x \le 4} \right)$ là một tam giác đều cạnh là $\sqrt x – 1.$

a. Diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ được cho bởi:$S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {{{\sin }^3}x} } \right)^2}$ $ = {\rm{ }}si{n^3}x$ $ = \frac{1}{4}\left( {3\sin x – \sin 3x} \right) .$Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:$V = \int\limits_{ – 1}^1 {S(x)dx} $ $ = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {3\sin x – \sin 3x} \right)dx} $ $ = \frac{1}{4}\left( { – 3\cos x + \frac{1}{3}\cos 3x} \right)\left| \begin{array}{l}\pi /2\\0\end{array} \right.$ $ = \frac{2}{3}.$b. Diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ được cho bởi:$S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\sqrt x – 1} \right)^2}$ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {x – 2\sqrt x + 1} \right).$Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:$V = \int\limits_{ – 1}^1 {S(x)dx} $ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\int\limits_1^4 {\left( {x – 2\sqrt x + 1} \right)dx} $ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{1}{2}{x^2} – \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + x} \right)\left| {_1^4} \right.$ $ = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}.$

Nhận xét: Như vậy, để tính các thể tích vật thể trên:+ Ở câu 1.a vì thiết diện là hình vuông (giả sử cạnh bằng $a$) nên ta có ngay $S = {a^2}$.+ Ở câu 1.b vì thiết diện là tam giác đều (giả sử cạnh bằng $a$) nên ta có ngay $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$Dạng toán 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay dạng 1Phương pháp: Ta có hai dạng sau:+ Dạng 1: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ khi quay quanh trục $Ox$: $V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .$+ Dạng 2: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $x = f\left( y \right)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ khi quay quanh trục $Oy$: $V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} .$

Chú ý: Trong một số trường hợp chúng ta cần tìm cận $a$, $b$ thông qua việc thiết lập điều kiện không âm cho hàm số $f\left( x \right)$ (hoặc $f(y)$).

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:a. Quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {e^x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3.$b. Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3 – {x^2}$, trục tung và đường thẳng $y = 1.$

a. Thể tích vật thể được cho bởi: $V = \pi \int\limits_0^3 {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_0^3 {{e^{2x}}dx} $ $ = \frac{\pi }{2}{e^{2x}}\left| {_0^3} \right.$ $ = \frac{\pi }{2}({e^6} – 1).$b. Biến đổi hàm số về dạng: $y = 3 – {x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} = 3 – y$ (cần có điều kiện $3 – y \ge 0$ $ \Leftrightarrow y \le 3$).Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi: $V = \pi \int\limits_1^3 {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_1^3 {(3 – y)dy} $ $ = \pi \left( {3y – \frac{{{y^2}}}{2}} \right)\left| {_1^3} \right.$ $ = 2\pi .$

Nhận xét: Như vậy, để tính các thể tích khối tròn xoay trên:+ Ở câu 2.a chúng ta sử dụng ngay công thức trong dạng 1.+ Ở câu 2.b chúng ta cần thực thêm công việc biến đổi hàm số về dạng $x = f\left( y \right)$ và ở đây nhờ điều kiện có nghĩa của $y$ chúng ta nhận được cận $y = 3.$

Ví dụ 3: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:a. $H = {\rm{\{ }}y = 0;y = \sqrt {1 + {{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x} ;$ $x = \frac{\pi }{2};x = \pi {\rm{\} }}.$b. $H = {\rm{\{ }}y = 0;y = \sqrt {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} ;$ $x = 0;x = \frac{\pi }{2}{\rm{\} }}.$

a. Thể tích vật tròn xoay cần tính được cho bởi:$V = \pi \int\limits_{\pi /2}^\pi {(1 + {{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x)} dx$ $ = \pi \int\limits_{\pi /2}^\pi {(\frac{{7 – \cos 4x}}{4})dx} $ $ = \pi \left( {\frac{7}{4}x – \frac{1}{{16}}\sin 4x} \right)\left| \begin{array}{l}\pi \\\pi /2\end{array} \right.$ $ = \frac{7}{8}{\pi ^2}$ (đvtt).b. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:$V = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {({{\cos }^6}x} + {\sin ^6}x)dx$ $ = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {(1 – \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x)dx} $ $ = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {(\frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x)dx} $ $ = \pi \left( {\frac{5}{8}x + \frac{3}{{32}}\sin 4x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right.$ $ = \frac{{5{\pi ^2}}}{{16}}$ (đvtt).

Ví dụ 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:a. $H = \left\{ {y = 3ax – {x^2}\left( {a > 0} \right),y = 0} \right\}.$b. $H = \left\{ {y = xlnx;y = 0;x = 1;x = e} \right\}.$

a. Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $Ox$ là:$3ax – {x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3a.$Khi đó, thể tích cần xác định được cho bởi:$V = \pi \int\limits_0^{3a} {{{(3ax – {x^2})}^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_0^{3a} {({x^4} – 6a{x^3} + 9{a^2}{x^2})dx} $ $ = \pi \left( {\frac{1}{5}{x^5} – \frac{{3a}}{2}{x^4} + 3{a^2}{x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}3a\\0\end{array} \right.$ $ = \frac{{81{a^5}\pi }}{{10}}$ (đvtt).b. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:$V = \pi \int\limits_1^e {{{(x\ln x)}^2}} dx$ $ = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}x} dx.$Để tính tích phân trên ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt:$\left\{ \begin{array}{l}u = {\ln ^2}x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{2}{x}\ln xdx\\v = \frac{1}{3}{x^3}\end{array} \right.$Khi đó: $V = \pi \left( {\frac{1}{3}{x^3}{{\ln }^2}x} \right)\left| \begin{array}{l}e\\1\end{array} \right.$ $ – \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx$ $ = \frac{{\pi {e^3}}}{3} – \frac{{2\pi }}{3}\underbrace {\int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx}_I$ $(1).$Xét tích phân $I$, đặt:$\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = \frac{1}{3}{x^3}\end{array} \right.$Khi đó: $I = \frac{1}{3}{x^3}lnx\left| {_1^e} \right. – \frac{1}{3} \int\limits_1^e {{x^2}dx} $ $ = \frac{{{e^3}}}{3} – \frac{1}{9}{x^3}\left| {_1^e} \right.$ $ = \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}$ $(2).$Thay $(2)$ vào $(1)$, ta được: $V = \frac{{\pi (5{e^3} – 2)}}{{27}}$ (đvtt).

Xem thêm: Đăng Ký Các Gói Cước 3G Mobifone 1 Ngày 3K, 5K, 7K, 10K, Các Gói 3G Mobifone 1 Ngày Từ 3K 5K 10K Dk Ra Sao

Dạng toán 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay dạng 2Phương pháp: Ta có hai dạng sau:+ Dạng 1: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$ quay quanh trục $Ox$: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) – {g^2}(x)} \right|dx} .$+ Dạng 2: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $x = f\left( y \right)$, $x = g\left( y \right)$, $y = a$, $y = b$ quay quanh trục $Oy$: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(y) – {g^2}(y)} \right|dy} .$

Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:a. Quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = {x^2}$ và $y = 2 – {x^2}.$b. Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x$ và $y = 2 – {x^2}.$

a. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:${x^2} = 2 – {x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} = 1$ $ \Leftrightarrow x = \pm 1.$Thể tích vật tròn xoay cần tính là:$V = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^4} – {{(2 – {x^2})}^2}} \right|dx} $ $ = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {4{x^2} – 4} \right|dx} $ $ = 4\pi \int\limits_{ – 1}^1 {(1 – {x^2})dx} $ $ = 4\pi \left( {x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {_{ – 1}^1} \right.$ $ = \frac{{16\pi }}{3}.$b. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:$x = 2 – {x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = -2 \Rightarrow y = -2\end{array} \right.$Thể tích vật thể được cho bởi:$V = \pi \int\limits_{ – 2}^1 {\left| {{y^2} – \left( {2 – y} \right)} \right|dy} $ $ = \frac{9}{2}\pi .$

Ví dụ 6: Cho hình tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( {0;2} \right)$, bán kính $R = 1$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:a. Quay $\left( C \right)$ quanh trục $Ox$.b. Quay $\left( C \right)$ quanh trục $Oy$.

Đường tròn $(C)$ có phương trình: $\left( C \right):{x^2} + {(y – 2)^2} = 1.$

a. Ta có:Ta chia đường tròn $(C)$ thành $2$ đường cong như sau:+ Nửa $\left( C \right)$ ở trên ứng với $2 \le y \le 3$ có phương trình: $y = {f_1}\left( x \right) = 2 + \sqrt {1 – {x^2}} $ với $x \in \left< { – 1;{\rm{ }}1} \right>$.+ Nửa $\left( C \right)$ ở dưới ứng với $1 \le y \le 2$ có phương trình: $y = {f_2}\left( x \right) = 2 – \sqrt {1 – {x^2}} $ với $x \in \left< { – 1;{\rm{ }}1} \right>$.Khi đó, thể tích vật thể tròn xoay cần tính được sinh bởi hình tròn $(C)$ giới hạn bởi các đường: $y = {f_1}\left( x \right) = 2 + \sqrt {1 – {x^2}} $, $y = {f_2}\left( x \right) = 2 – \sqrt {1 – {x^2}} $, $x = -1$, $x = 1$ quay quanh $Ox$ được tính theo công thức: $V = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {f_1^2\left( x \right) – f_2^2\left( x \right)} \right|} dx$ $ = 8\pi \int\limits_{ – 1}^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx$ $ = 4{\pi ^2}.$b. Khi quay $\left( C \right)$ quanh trục $Oy$ ta nhận được khối tròn xoay chính là hình cầu bán kính $R = 1$, do đó: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$ $ = \frac{4}{3}\pi .$

Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo bởi hình elip $\left( E \right):\frac{{{{\left( {x – 4} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{16}} \le 1$ quay quanh trục $Oy.$

Elip $\left( E \right)$ có tâm $I\left( {4,0} \right)$, trục lớn có độ dài $2a = 8$, trục nhỏ có độ dài $2b = 4.$

Ta chia đường biên của elip $(E)$ thành $2$ đường cong như sau:+ Nửa biên $\left( E \right)$ ứng với $2 \le x \le 4$ có phương trình: $x = {f_1}\left( y \right) = 4 – 2\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} $ với $y \in \left< { – 4;4} \right>.$+ Nửa biên $\left( E \right)$ ứng với $4 \le x \le 6$ có phương trình: $x = {f_2}\left( y \right) = 4 + 2\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} $ với $y \in \left< { – 4;4} \right>.$Thể tích vật thể tròn xoay cần tính được sinh bởi miền $E$ giới hạn bởi các đường: $x = {f_1}\left( y \right) = 4 – 2\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} $, $x = {f_2}\left( y \right) = 4 + 2\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} $, $y = -4$, $y = 4$ quay quanh trục $Oy$ được tính theo công thức:$V = \pi \int\limits_{ – 4}^4 {\left( {f_2^2(y) – f_1^2(y)} \right)} dy$ $ = 32\pi \int\limits_{ – 4}^4 {\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} } dy$ $ = 64{\pi ^2}.$