Bài tập hình học nâng cao Toán 7 là tài liệu luyện thi không thể thiếu dành cho các học sinh tham khảo. Tài liệu thể hiện chi tiết trọng tâm các dạng bài tập hình học 7, giúp học sinh có phương hướng ôn thi chính xác nhất.Bạn đang xem: Các bài toán nâng cao lớp 7 hình học
Bài tập Hình học nâng cao lớp 7 được biên soạn theo các chủ đề trọng tâm, khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản; học sinh có học lực khá, giỏi nâng cao tư duy và kỹ năng giải đề với các bài tập vận dụng nâng cao. Vậy sau đây là bài tập nâng cao Hình học 7, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.
Bạn đang xem: Toán hình lớp 7 nâng cao có lời giải
Bài tập nâng cao Hình học 7
I. Bài tập tự luyện
Bài toán 1. Cho ΔABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Lấy E ∈ BC. BH, CK ⊥ AE (H, K ∈ AE). Chứng minh rằng Δ MHK vuông cân.
Bài toán 2. Cho ΔABC có góc ABC = 500; góc BAC = 700. Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 400. Chứng minh rằng: BN = MC.
Bài toán 3. Cho ΔABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác vuông cân ở A là ABE và ACF. Vẽ AH ⊥ BC. Đường thẳng AH cắt EF tại O. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.
Bài toán 4. Cho ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng:
a. ΔABC = ΔMDE
b. Ba đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
Bài toán 5. Cho ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho BM = BA; CN = CA. Tính góc MAN
Bài toán 6. Cho đoạn thẳng MN = 4cm, điểm O nằm giữa M và N. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ MN vẽ các tam giác cân đỉnh O là OMA và OMB sao cho góc ở đỉnh O bằng 450. Tìm vị trí của O để AB min. Tính độ dài nhỏ nhất đó.
II. Bài tập có đáp án
BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) ∆ABE = ∆ADC
b) Góc BMC = 120o
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
a) Chứng minh: EM + HC = NH.
b) Chứng minh: EN // FM.
Bài 3: Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2.
Chứng minh rằng : Góc PCQ = 45o
Bài 4: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các ∆MAB; MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC ). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Bài 6: Cho tam giác vuông ABC: A = 90o , đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho
Chứng minh: AE = BC.
Bài 7: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC.
Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
a) ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó.
b) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại Chứng minh: AE = AB
Bài 8: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết góc HBE = 50o ; góc MEB = 25o. Tính goc HEM và góc BEM.
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A có A = 20o, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC
Bài 10: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chứng minh AK + CE = BE.
Tăng cường khả năng giải Toán Hình học cho học sinh lớp 7 với 10 bài tập hình học nâng cao có lời giải được Gia sư Tiến Bộ chia sẻ dưới đây.
BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) ∆ABE = ∆ADC
b)
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
a) Chứng minh: EM + HC = NH.
b) Chứng minh: EN // FM.
Bài 3:Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2.
Chứng minh rằng :
.
Bài 4:Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các DMAB; MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC ). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.Bài 6: Cho tam giác vuông ABC:
, đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC.
Bài 7: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
a) ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó.
b) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại Chứng minh: AE = AB
Bài 8: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và
AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
Gọi G và G" lần lượt là trọng tâm hai tam giác ABC và tam giác A"B"C" cho trước.
Chứng minh rằng : GG"
Câu 4:
Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia
AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh rằng : BE = CD.
b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng.
c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK \<\le \> BC
thẳng DE
Câu 6:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
Câu 7:
Cho tam giác vuông ABC: \<\widehat{A}={{90}^{0}}\>, đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho
CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E.
Chứng minh: AE = BC.
Câu 8:
Cho tam giác ABC nhọn có đường phân gác trong AD. Chứng minh rằng:
$AD=\frac{2.AB.AC.\cos \frac{A}{2}}{AB+AC}$
Câu 12:
Cho tam giác ABC dựng tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng MC = NA = PB và góc tạo bởi hai đường thẳng ấy bằng 600, ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy.
Câu 13:
Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) và có H là trực tâm. Gọi A", B", C" là điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB. Qua H, vẽ đường thẳng d bất kì. Chứng minh rằng: Các đường thẳng đối xứng của d qua các cạnh của DABC đồng quy tại một điểm trên (O).
Câu 14:
Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của IA, IB, IC. Chứng minh PD, QE, RF đồng quy. Gọi J là điểm đồng quy, chứng minh I là trung điểm của mỗi đường.
Câu 15:
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các DMAB; MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Lời giải chi tiết
Câu 2:
Gọi M,M",I,I" theo thứ tự trung điểm BC;B"C";AG;A"G" . Ta có:
Vậy
Câu 4:
Để cm BE = CD$\Uparrow $
Cần cm \<\Delta \>ABE = \<\Delta \>ADC (c.g.c)
$\Uparrow $
Cần cm \<\widehat{BAN}=\widehat{BAM}={{180}^{0}}\>
$\Uparrow $
Có \<\widehat{BAN}+\widehat{NAD}={{180}^{0}}\> $\Rightarrow $ Cần cm \<\widehat{MAB}=\widehat{NAD}\>
Để cm \<\widehat{MAB}=\widehat{NAD}\>
$\Uparrow $
Cần cm \<\Delta \>ABM = \<\Delta \>ADN (c.g.c)
Gọi là giao điểm của BC và Ax$\Rightarrow $ Để cm BH + CK \<\le \> BC
$\Uparrow $
Cần cm \
Vì BI + IC = BC
BH + CK có giá trị lớn nhất = BCkhi đó K,H trùng với I , do đó Ax vuông góc với BC
Câu 6:
a) Để cm DM = EN
$\Uparrow$
Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)
$\Uparrow$
Có BD = CE (gt) , $\widehat{D}=\widehat{E}={{90}^{0}}$ ( MD, NE$\bot$BC)
$\widehat{BCA}=\widehat{CBA}$( ∆ABC cân tại A)
Để Cm Đường thẳng BC cắt MN tại trungđiểm I của MN $\Rightarrow$ Cần cm IM = IN
$\Uparrow$
Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g)
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I $\Rightarrow$ Cần cm O là điểm cố địnhĐể cm O là điểm cố định
$\Uparrow$
Cần cm OC $\bot$ AC
$\Uparrow$
Cần cm $\widehat{OAC}=\widehat{OCN}={{90}^{0}}$
$\Uparrow$
Cần cm : $\widehat{OBA}=\widehat{OCA}$ và $\widehat{OBM}=\widehat{OCM}$
$\Uparrow$
Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
Câu 7:
Cho tam giác vuông ABC: \<\widehat{A}={{90}^{0}}\>, đường cao AH, trung tuyến AM.
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA.
Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho
CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song
với AC cắt đường thẳng AH tại E.
Chứng minh: AE = BC.
a) Ta có : \<\Delta AMB=\Delta DMC(c-g-c)\>
\<\Rightarrow AB=DC\>
Suy ra \<\Delta ABC=\Delta CDA(c-c-c)\>
Mặt khác : \<\Delta ACI:\widehat{ACI}={{90}^{0}};AC=CI\>: vuông cân
\<\Delta \text{ACJ}=\Delta \text{ICJ}\>( CH -CGV)
\<\Rightarrow \widehat{\text{ACJ}}=\widehat{\text{ICJ}}\> hay CJ là phân giác của \<\widehat{ACI}\> hay \<\Delta \text{ACJ}\> vuông cân tại J.
Nên AJ = AC
Câu 8:
SABD+SACD=SABC
Câu 12:
Xét các tam giác bằng nhau
* Chứng minh AN = MC = BP
Xét hai tam giác ABN và MBC có:
AB = MB; BC = BN (Các cạnh của tam giác đều)
\<\widehat{ABN}=\widehat{MBC}\> ( cùng bằng \<{{60}^{0}}+\widehat{ABC}\> )
Tương tự:
AB = AM; BC = BN (Các cạnh của tam giác đều)
⇒ BP = MC (**)
Từ (*) và (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm).
* Chứng minh
Trong ∆APC có ${{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{A}}_{1}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{2}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{1}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{2}}={{180}^{0}}$ mà ${{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{1}}={{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{1}}$
Trong ∆PCK có ${{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{1}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{2}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{2}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{K}}_{2}}={{180}^{0}}$
⇒ ${{60}^{0}}+({{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{1}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{2}})+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{K}}_{2}}={{180}^{0}}$ ⇒ \<{{60}^{0}}+{{60}^{0}}+\widehat{{{K}_{2}}}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{K}_{2}}}={{60}^{0}}\> (1)
Tương tự: ∆ ABN = ∆ MBC ⇒ \<\widehat{{{N}_{1}}}=\widehat{{{C}_{3}}}\> mà \<\widehat{{{N}_{1}}}+\widehat{{{N}_{2}}}={{60}^{0}}\>
⇒ \<\widehat{{{N}_{2}}}+\widehat{{{C}_{3}}}={{60}^{0}}\> mà \<\widehat{{{C}_{4}}}={{60}^{0}}\>
⇒ ∆ NKC có \<\widehat{{{N}_{2}}}+\widehat{{{C}_{3}}}+\widehat{{{C}_{4}}}+\widehat{{{K}_{3}}}={{180}^{0}}\> ⇒ \<\widehat{{{K}_{3}}}={{60}^{0}}\> (2)
Tương tự: ∆ AC N = ∆ PCB ⇒ \<\widehat{{{P}_{2}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\> mà \<\widehat{{{P}_{1}}}+{{\widehat{P}}_{2}}={{60}^{0}}\>
⇒ \<\widehat{{{P}_{1}}}+\widehat{{{A}_{2}}}={{60}^{0}}\> mà \<\widehat{{{A}_{1}}}={{60}^{0}}\> ⇒ Trong ∆ AKP có \<\widehat{{{K}_{1}}}={{60}^{0}}\> (3)
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh
* Chứng minh AN. MC, BP đồng quy
Giả sử MC Ç BP = K ta chứng minh cho A, K, N thẳng hàng
Theo chứng minh trên ta có: \<\widehat{{{K}_{2}}}={{60}^{0}},\widehat{{{K}_{3}}}={{60}^{0}},\widehat{{{K}_{1}}}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{K}_{1}}}+\widehat{{{K}_{2}}}+\widehat{{{K}_{3}}}={{180}^{0}}\>
⇒ A,K,N thẳng hàng \<\>
Vậy AN, MC, BP đồng quy (đpcm)
Câu 13:
Gọi I là giao của d1 và d2
Chứng minh tứ giác A"B"C"I là tứ giác nội tiếp. Suy ra A"B"C"I là nội tiếp (O).
Chứng minh I thuộc d3.
Xem thêm: Prime video: the man who invented christmas, the man who invented christmas (film)
Câu 14:
Chứng minh PEDQ, PRDF là hình chữ nhật ⇒ PD, QE, RF là đường chéo của 2 hình chữ nhật đó Þ đpcm.